设V1与V2分别是齐次方程组 _(1)+(x)_(2)+... +(x)_(n)=0 与-|||-_(1)=(x)_(2)=... =(x)_(n) 的解空间,证明: ^n=(V)_(1)+(V)_(2)

步骤 1：定义解空间
- 首先，定义解空间 $V_1$ 和 $V_2$。$V_1$ 是齐次方程组 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 的解空间，$V_2$ 是齐次方程组 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$ 的解空间。
步骤 2：证明 ${P}^{n}={V}_{1}+{V}_{2}$
- 任意 $({t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n})\in {P}^{n}$，可以写成 $({t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}) = ({t}_{1}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}, {t}_{2}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}, \cdots, {t}_{n}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}) + (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}, \cdots, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{t}_{i})$。
- 其中第一个向量属于 $V_1$，第二个向量属于 $V_2$。因此，${P}^{n}={V}_{1}+{V}_{2}$。
步骤 3：证明 ${V}_{1}\cap {V}_{2}=\{ 0\}$
- 假设 $v\in {V}_{1}\cap {V}_{2}$，则 $v$ 同时满足 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 和 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$。
- 由于 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$，代入 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 得到 $n{x}_{1}=0$，即 ${x}_{1}=0$。
- 因此，$v=(0,0,\cdots,0)$，即 ${V}_{1}\cap {V}_{2}=\{ 0\}$。
步骤 4：证明 ${P}^{n}={V}_{1}\oplus {V}_{2}$
- 由于 ${P}^{n}={V}_{1}+{V}_{2}$ 且 ${V}_{1}\cap {V}_{2}=\{ 0\}$，根据直和的定义，${P}^{n}={V}_{1}\oplus {V}_{2}$。