设V1与V2分别是齐次方程组 _(1)+(x)_(2)+... +(x)_(n)=0 与-|||-_(1)=(x)_(2)=... =(x)_(n) 的解空间,证明: ^n=(V)_(1)+(V)_(2)

考查要点：本题主要考查齐次方程组解空间的直和分解，涉及解空间的维数、向量空间的分解方法以及直和的判定条件。

解题核心思路：

1. 分解任意向量：将任意向量分解为属于V1和V2的两个部分之和，证明V1 + V2 = Pⁿ。
2. 维数分析：利用维数公式，结合V1和V2的维数之和等于Pⁿ的维数，且它们的交集为{0}，从而得出直和结论。

破题关键点：

• V1的维数：由方程x₁ + x₂ + … + xₙ = 0确定，维数为n−1。
• V2的维数：由所有分量相等的条件确定，维数为1。
• 分解方法：将任意向量分解为“平均值向量”（属于V2）和“偏差向量”（属于V1）。

步骤1：分解任意向量

任取α = (a₁, a₂, ..., aₙ) ∈ Pⁿ，定义：

• V2部分：取平均值向量$\mathbf{v_2} = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i, \dots, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i \right)$，显然$\mathbf{v_2} \in V_2$。
• V1部分：定义$\mathbf{v_1} = \alpha - \mathbf{v_2} = \left( a_1 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i, \dots, a_n - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i \right)$。验证$\mathbf{v_1}$满足V1的条件：
  $\sum_{i=1}^{n} \left( a_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_j \right) = \sum_{i=1}^{n}a_i - n \cdot \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_j = 0.$
  因此$\mathbf{v_1} \in V_1$，且$\alpha = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}$，故$P^n = V_1 + V_2$。

步骤2：证明交集为{0}

若向量$\mathbf{v} \in V_1 \cap V_2$，则其分量全等且和为0。设$\mathbf{v} = (c, c, \dots, c)$，则：
$\sum_{i=1}^{n}c = nc = 0 \implies c = 0.$
故$V_1 \cap V_2 = \{0\}$。

步骤3：维数验证

• $\dim(V_1) = n-1$，$\dim(V_2) = 1$。
• 由维数公式：
  $\dim(V_1 + V_2) + \dim(V_1 \cap V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2).$
  代入得$\dim(V_1 + V_2) = n$，结合$V_1 + V_2 \subseteq P^n$，故$V_1 + V_2 = P^n$且为直和。