题目
2.z=|x| 绕z轴旋转而成的旋转曲面为 _。
2.z=|x| 绕z轴旋转而成的旋转曲面为 _。
题目解答
答案
为了确定由 $ z = |x| $ 绕 $ z $-轴旋转而成的旋转曲面，我们需要理解当函数 $ z = |x| $ 绕 $ z $-轴旋转时，它如何掃描出一个曲面。
1. **理解函数 $ z = |x| $:**
函数 $ z = |x| $ 是一个分段线性函数，定义为：
\[
z =
\begin{cases}
x & \text{如果 } x \geq 0 \\
-x & \text{如果 } x < 0
\end{cases}
\]
这在 $ xz $-平面上表示两条从原点出发的射线，一条沿 $ z = x $ 的正 $ z $-方向，另一条沿 $ z = -x $ 的正 $ z $-方向。
2. **绕 $ z $-轴旋转:**
当我们将 $ z = |x| $ 绕 $ z $-轴旋转时，$ x $-坐标被 $ xy $-平面上的半径 $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $ 替换。因此，函数 $ z = |x| $ 变为 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $。
3. **形成方程:**
通过将 $ |x| $ 替换为 $ \sqrt{x^2 + y^2} $，我们得到：
\[
z = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
为了以更熟悉的形式表示，我们可以对等式的两边平方：
\[
z^2 = x^2 + y^2
\]
这是双叶圆锥的方程，但由于 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0 $，我们只考虑圆锥的上半部分。
因此，由 $ z = |x| $ 绕 $ z $-轴旋转而成的旋转曲面是 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $。
最终答案是：
\[
\boxed{z^2 = x^2 + y^2}
\]
解析
步骤 1：理解函数 $ z = |x| $
函数 $ z = |x| $ 是一个分段线性函数，定义为： \[ z = \begin{cases} x & \text{如果 } x \geq 0 \\ -x & \text{如果 } x < 0 \end{cases} \] 这在 $ xz $-平面上表示两条从原点出发的射线，一条沿 $ z = x $ 的正 $ z $-方向，另一条沿 $ z = -x $ 的正 $ z $-方向。
步骤 2：绕 $ z $-轴旋转
当我们将 $ z = |x| $ 绕 $ z $-轴旋转时，$ x $-坐标被 $ xy $-平面上的半径 $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $ 替换。因此，函数 $ z = |x| $ 变为 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $。
步骤 3：形成方程
通过将 $ |x| $ 替换为 $ \sqrt{x^2 + y^2} $，我们得到： \[ z = \sqrt{x^2 + y^2} \] 为了以更熟悉的形式表示，我们可以对等式的两边平方： \[ z^2 = x^2 + y^2 \] 这是双叶圆锥的方程，但由于 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0 $，我们只考虑圆锥的上半部分。
函数 $ z = |x| $ 是一个分段线性函数，定义为： \[ z = \begin{cases} x & \text{如果 } x \geq 0 \\ -x & \text{如果 } x < 0 \end{cases} \] 这在 $ xz $-平面上表示两条从原点出发的射线，一条沿 $ z = x $ 的正 $ z $-方向，另一条沿 $ z = -x $ 的正 $ z $-方向。
步骤 2：绕 $ z $-轴旋转
当我们将 $ z = |x| $ 绕 $ z $-轴旋转时，$ x $-坐标被 $ xy $-平面上的半径 $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $ 替换。因此，函数 $ z = |x| $ 变为 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $。
步骤 3：形成方程
通过将 $ |x| $ 替换为 $ \sqrt{x^2 + y^2} $，我们得到： \[ z = \sqrt{x^2 + y^2} \] 为了以更熟悉的形式表示，我们可以对等式的两边平方： \[ z^2 = x^2 + y^2 \] 这是双叶圆锥的方程，但由于 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0 $，我们只考虑圆锥的上半部分。