设直线L：{x+3y+2z+1=0)2x-y-10z+3=0).，平面π为4x-2y+z-2=0，则( )A. L平行于πB. L在π上C. L垂直于πD. L与π斜交

考查要点：本题主要考查直线与平面之间的位置关系的判断，涉及直线方向向量与平面法向量的关系。

解题核心思路：

1. 确定直线的方向向量：直线由两个平面方程联立得到，其方向向量为两平面法向量的叉乘。
2. 确定平面的法向量：直接由平面方程系数得出。
3. 判断关系：若直线方向向量与平面法向量平行，则直线垂直于平面。

破题关键点：

• 直线方向向量与平面法向量的平行性是判断垂直关系的核心条件。

1. 求直线L的方向向量

直线L由平面方程组：
$\begin{cases}x + 3y + 2z + 1 = 0 \\2x - y - 10z + 3 = 0\end{cases}$
确定。其方向向量为两平面法向量的叉乘：

• 第一平面法向量 $\mathbf{n_1} = (1, 3, 2)$
• 第二平面法向量 $\mathbf{n_2} = (2, -1, -10)$

计算叉乘：
$\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 3 & 2 \\2 & -1 & -10\end{vmatrix} = (-28, 14, -7)$
简化后方向向量为 $\mathbf{s} = (4, -2, 1)$（提取公因数$-7$）。

2. 确定平面π的法向量

平面π的方程为 $4x - 2y + z - 2 = 0$，其法向量为 $\mathbf{n_\pi} = (4, -2, 1)$。

3. 判断直线与平面的关系

• 方向向量与法向量平行：$\mathbf{s} = (4, -2, 1)$ 与 $\mathbf{n_\pi} = (4, -2, 1)$ 完全相同，说明 $\mathbf{s} \parallel \mathbf{n_\pi}$。
• 结论：直线L的方向向量与平面π的法向量平行，因此直线L垂直于平面π。