题目
设直线L：{x+3y+2z+1=0)2x-y-10z+3=0).，平面π为4x-2y+z-2=0，则( ) A. L平行于π B. L在π上 C. L垂直于π D. L与π斜交
设直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+2z+1=0}\\{2x-y-10z+3=0}\end{array}\right.$，平面π为4x-2y+z-2=0，则( )
- A. L平行于π
- B. L在π上
- C. L垂直于π
- D. L与π斜交
题目解答
答案
解：平面π为4x-2y+z-2=0，法向量$\overrightarrow{m}$=(4，-2，1)，经过点(0，0，2)．
直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+2z+1=0}\\{2x-y-10z+3=0}\end{array}\right.$的方向向量：$\overrightarrow{n}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\{1}&{3}&{2}\\{2}&{-1}&{-10}\end{array}|$=-28$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$-7$\overrightarrow{k}$=(-28，14，-7)=-7(4，-2，1)．
∴$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴L⊥π．
故选：C．
直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+2z+1=0}\\{2x-y-10z+3=0}\end{array}\right.$的方向向量：$\overrightarrow{n}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\{1}&{3}&{2}\\{2}&{-1}&{-10}\end{array}|$=-28$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$-7$\overrightarrow{k}$=(-28，14，-7)=-7(4，-2，1)．
∴$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴L⊥π．
故选：C．
解析
步骤 1：确定平面π的法向量
平面π的方程为4x-2y+z-2=0，其法向量$\overrightarrow{m}$=(4，-2，1)。
步骤 2：确定直线L的方向向量
直线L的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+2z+1=0}\\{2x-y-10z+3=0}\end{array}\right.$，其方向向量$\overrightarrow{n}$可以通过计算两个平面的法向量的叉乘得到，即$\overrightarrow{n}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\{1}&{3}&{2}\\{2}&{-1}&{-10}\end{array}|$=-28$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$-7$\overrightarrow{k}$=(-28，14，-7)。
步骤 3：判断直线L与平面π的关系
由于$\overrightarrow{m}$=(4，-2，1)和$\overrightarrow{n}$=(-28，14，-7)满足$\overrightarrow{m}$=-7$\overrightarrow{n}$，即$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，所以直线L垂直于平面π。
平面π的方程为4x-2y+z-2=0，其法向量$\overrightarrow{m}$=(4，-2，1)。
步骤 2：确定直线L的方向向量
直线L的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+2z+1=0}\\{2x-y-10z+3=0}\end{array}\right.$，其方向向量$\overrightarrow{n}$可以通过计算两个平面的法向量的叉乘得到，即$\overrightarrow{n}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\{1}&{3}&{2}\\{2}&{-1}&{-10}\end{array}|$=-28$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$-7$\overrightarrow{k}$=(-28，14，-7)。
步骤 3：判断直线L与平面π的关系
由于$\overrightarrow{m}$=(4，-2，1)和$\overrightarrow{n}$=(-28，14，-7)满足$\overrightarrow{m}$=-7$\overrightarrow{n}$，即$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，所以直线L垂直于平面π。