题目

设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)= { x+1,0leqslant xleqslant 2 0,else ..

设连续型随机变量X的概率密度函数为 $f\left(x\right)=\left \{ ^{- \frac{1}{2} x + 1 , 0 \le x \le 2}_{0,else} \right.$ ，求 $E\left(X\right),D\left(X\right)$ .

题目解答

答案

$E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf\left(x\right)dx=\int_0^2x\left(-\frac{1}{2}x+1\right)dx$ $=\int_0^2\left(-\frac{1}{2}x^2+x\right)dx=\left(-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2\right)|_0^2=\frac{2}{3}$ ， $E\left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f\left(x\right)dx=\int_0^2x^2\left(-\frac{1}{2}x+1\right)dx$ $=\int_0^2\left(-\frac{1}{2}x^3+x^2\right)dx=\left(-\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{3}x^3\right)|_0^2=\frac{2}{3}$ ，则 $D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)=\frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{9}$ .

解析

步骤 1：计算E(X)
E(X)是随机变量X的期望值，计算公式为E(X) = $\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$。对于给定的概率密度函数f(x)，我们只在0到2的区间内积分，因为在这个区间外f(x) = 0。
E(X) = $\int_{0}^{2} x(-\dfrac{1}{2}x + 1) dx$ = $\int_{0}^{2} (-\dfrac{1}{2}x^2 + x) dx$ = $[-\dfrac{1}{6}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2]_{0}^{2}$ = $-\dfrac{1}{6}(2)^3 + \dfrac{1}{2}(2)^2$ = $-\dfrac{4}{6} + 2$ = $\dfrac{2}{3}$。

步骤 2：计算E(X^2)
E(X^2)是随机变量X的平方的期望值，计算公式为E(X^2) = $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$。同样地，我们只在0到2的区间内积分。
E(X^2) = $\int_{0}^{2} x^2(-\dfrac{1}{2}x + 1) dx$ = $\int_{0}^{2} (-\dfrac{1}{2}x^3 + x^2) dx$ = $[-\dfrac{1}{8}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3]_{0}^{2}$ = $-\dfrac{1}{8}(2)^4 + \dfrac{1}{3}(2)^3$ = $-\dfrac{16}{8} + \dfrac{8}{3}$ = $-\dfrac{2}{1} + \dfrac{8}{3}$ = $\dfrac{2}{3}$。

步骤 3：计算D(X)
D(X)是随机变量X的方差，计算公式为D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。
D(X) = $\dfrac{2}{3} - (\dfrac{2}{3})^2$ = $\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{6}{9} - \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{2}{9}$。