题目
47.将函数 dfrac (x+5)(2{x)^2-x-6} 展开成x的幂级数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解分母
将分母 $2x^2 - x - 6$ 分解为 $(2x + 3)(x - 2)$，得到 $\dfrac {x+5}{2{x}^{2}-x-6}=\dfrac {x+5}{(2x+3)(x-2)}$。
步骤 2：部分分式分解
将 $\dfrac {x+5}{(2x+3)(x-2)}$ 分解为 $\dfrac {A}{2x+3} + \dfrac {B}{x-2}$，其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。通过解方程组确定 $A$ 和 $B$ 的值，得到 $\dfrac {x+5}{(2x+3)(x-2)}=-\dfrac {1}{2x+3}+\dfrac {1}{x-2}$。
步骤 3：幂级数展开
将 $-\dfrac {1}{2x+3}$ 和 $\dfrac {1}{x-2}$ 分别展开成幂级数。对于 $-\dfrac {1}{2x+3}$，可以写成 $-\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {1}{1+\dfrac {2}{3}x}$，然后利用几何级数公式展开。对于 $\dfrac {1}{x-2}$，可以写成 $-\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {1}{2}x}$，然后利用几何级数公式展开。
步骤 4：合并幂级数
将两个幂级数合并，得到最终的幂级数表达式。
将分母 $2x^2 - x - 6$ 分解为 $(2x + 3)(x - 2)$，得到 $\dfrac {x+5}{2{x}^{2}-x-6}=\dfrac {x+5}{(2x+3)(x-2)}$。
步骤 2：部分分式分解
将 $\dfrac {x+5}{(2x+3)(x-2)}$ 分解为 $\dfrac {A}{2x+3} + \dfrac {B}{x-2}$，其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。通过解方程组确定 $A$ 和 $B$ 的值，得到 $\dfrac {x+5}{(2x+3)(x-2)}=-\dfrac {1}{2x+3}+\dfrac {1}{x-2}$。
步骤 3：幂级数展开
将 $-\dfrac {1}{2x+3}$ 和 $\dfrac {1}{x-2}$ 分别展开成幂级数。对于 $-\dfrac {1}{2x+3}$，可以写成 $-\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {1}{1+\dfrac {2}{3}x}$，然后利用几何级数公式展开。对于 $\dfrac {1}{x-2}$，可以写成 $-\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {1}{2}x}$，然后利用几何级数公式展开。
步骤 4：合并幂级数
将两个幂级数合并，得到最终的幂级数表达式。