题目

设随机变量X的概率密度为fx(x)，且fx(x)，则随机变量Y的概率密度为_________.

设随机变量X的概率密度为 $f_X\left(x\right)$ ，且 $Y=2X+1$ ，则随机变量Y的概率密度为_________.

题目解答

答案

随机变量X的概率密度为 $f_X\left(x\right)$ ，则 $Y=2X+1$ 的分布函数为 $F_Y\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(2X+1\le y\right)$ $=P\left(X\le\frac{y-1}{2}\right)=\int_{-\infty}^{\frac{y-1}{2}}f_X\left(x\right)dx$ ，则随机变量Y的概率密度为 $f_Y\left(y\right)=F'_Y\left(y\right)=\frac{d\left[\int_{-\infty}^{\frac{y-1}{2}}f_X\left(x\right)dx\right]}{dy}=\frac{1}{2}f_X\left(\frac{y-1}{2}\right)$ .

解析

步骤 1：确定Y的分布函数
随机变量X的概率密度为fx(x)，则Y=2X+1的分布函数为$F'(y)=P(Y\leqslant y)=P(2x+1\leqslant y)$$=P(x\leqslant \dfrac {y-1}{2})={\int }_{-\infty }^{\dfrac {y-1}{2}}{f}_{x}(x)dx$。

步骤 2：求Y的概率密度
由分布函数$F'(y)$，求导得到Y的概率密度$f(y)$，即$f(y)={F}_{y}'(y)=\dfrac {d[ f'(x)}{dy}] d=\dfrac {d[ f'(x)dx] }{dy}$。

步骤 3：代入X的概率密度
将X的概率密度fx(x)代入到Y的概率密度表达式中，得到$f(y)=\dfrac {1}{2}fx(\dfrac {y-1}{2})$。