题目
七.（本题12分）设曲面Σ为下半球面z=-sqrt(1-x^2)-y^(2)的下侧，计算曲面积分I=iintlimits_(Sigma)((z+1)^2dxdy-2xdydz)/(sqrt(x^2)+y^(2)+z^{2)}.
七.（本题12分）设曲面Σ为下半球面$z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$的下侧，计算曲面积分
$I=\iint\limits_{\Sigma}\frac{(z+1)^{2}dxdy-2xdydz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}. $
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 转换为球坐标系，其中 $x = \sin \theta \cos \phi$，$y = \sin \theta \sin \phi$，$z = -\cos \theta$。
计算被积函数在球坐标下的表达式：
\[
(z+1)^2 dxdy - 2x dydz = (1 - \cos \theta)^2 \sin \theta d\theta d\phi - 2 \sin \theta \cos \phi dydz.
\]
注意到 $dydz$ 在 $[0, 2\pi]$ 上关于 $\phi$ 积分为零，故仅需计算：
\[
\iint_{\Sigma} (1 - \cos \theta)^2 \sin \theta d\theta d\phi.
\]
令 $u = \cos \theta$，则积分变为：
\[
\int_0^{2\pi} d\phi \int_{-1}^1 (1 - u)^2 du = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{16\pi}{3}}$