题目

设随机变量×在区间×上服从均匀分布，求×的概率密度函数。

设随机变量 $X$ 在区间 $(1,3)$ 上服从均匀分布，求 $Y=e^{2X}$ 的概率密度函数。

题目解答

答案

首先明确取值范围： $X\in\left(1,3\right)\Rightarrow Y\in\left(e^2,e^6\right)$ 。考虑分布函数 $F_Y\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(e^{2X}\le y\right)$ ，由于单调性可以等价写出 $X\le\frac{1}{2}\ln y$ ，所以 $F_Y\left(y\right)=P\left(X\le\frac{1}{2}\ln y\right)$ 。在均匀分布下这个概率等于 $\frac{\frac{1}{2}\ln y-1}{3-1}=\frac{1}{4}\ln y-\frac{1}{2}$ ，所以 $f_Y\left(y\right)=F_Y\left(y\right)'=\left(\frac{1}{4}\ln y-\frac{1}{2}\right)'=\frac{1}{4y}$ 。这对应的区间是 $y\in\left(e^2,e^6\right)$ ，在其余部分上函数值为0，所以答案是 $f_Y(y) = \begin{cases} \frac1{4y},y\in(e^2,e^6) \newline 0, \text{else.} \end{cases}$ 。

解析

步骤 1：确定随机变量X的取值范围
随机变量X在区间(1,3)上服从均匀分布，即$X\in (1,3)$。

步骤 2：确定随机变量Y的取值范围
由于$Y={e}^{2X}$，当$X\in (1,3)$时，$Y\in ({e}^{2},{e}^{6})$。

步骤 3：计算Y的分布函数
分布函数${F}_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P({e}^{2x}\leqslant y)$，由于${e}^{2x}$是单调递增函数，可以等价写出$X\leqslant \dfrac {1}{2}\ln y$，所以${F}_{Y}(y)=P(X\leqslant \dfrac {1}{2}\ln y)$。

步骤 4：计算分布函数${F}_{Y}(y)$
在均匀分布下，$P(X\leqslant \dfrac {1}{2}\ln y)=\dfrac {\dfrac {1}{2}\ln y-1}{3-1}=\dfrac {1}{4}\ln y-\dfrac {1}{2}$。

步骤 5：计算概率密度函数$f(y)$
$f(y)={F}_{Y}(y)'=(\dfrac {1}{4}\ln y-\dfrac {1}{2})'=\dfrac {1}{4y}$。这对应的区间是$y\in ({e}^{2},{e}^{6})$，在其余部分上函数值为0。