题目
若随机变量的概率密度为,求:①常数; ②落在 区间内的概率; ③的分布函数。
若随机变量
的概率密度为
,求:
①常数
;
②落在
区间内的概率;
③的分布函数
。
题目解答
答案
① 因为随机变量的概率密度函数在整个定义域上的积分值为1，所以有：
解得
.
② 落在区间内的概率为：
③ 当
时，
;
当
时，
当
时，
.
故分布函数为：
.
故答案为:
(1);(2)
;
(3).
解析
步骤 1：求常数A
因为随机变量的概率密度函数在整个定义域上的积分值为1，所以有：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
$$
由于$f(x)$在$0\leqslant x\leqslant 1$区间内为$Ax^3$，在其他区间内为0，所以积分可以简化为：
$$
\int_{0}^{1} Ax^3 dx = 1
$$
计算积分：
$$
A\int_{0}^{1} x^3 dx = A\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{1} = A\left(\frac{1}{4} - 0\right) = \frac{A}{4}
$$
所以有：
$$
\frac{A}{4} = 1
$$
解得：
$$
A = 4
$$
步骤 2：求落在$(-1,\dfrac {1}{2})$ 区间内的概率
由于$f(x)$在$0\leqslant x\leqslant 1$区间内为$4x^3$，在其他区间内为0，所以落在$(-1,\dfrac {1}{2})$ 区间内的概率为：
$$
P(-1$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} 4x^3 dx = 4\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{\frac{1}{2}} = 4\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}
$$
步骤 3：求分布函数$F(x)$
分布函数$F(x)$定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$
当$x < 0$时，$f(x) = 0$，所以$F(x) = 0$。
当$0 \leq x \leq 1$时，$f(x) = 4x^3$，所以：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} 4t^3 dt = 4\left[\frac{1}{4}t^4\right]_{0}^{x} = x^4
$$
当$x > 1$时，$f(x) = 0$，所以$F(x) = 1$。
综上所述，分布函数$F(x)$为：
$$
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
x^4, & 0 \leq x \leq 1 \\
1, & x > 1
\end{cases}
$$
因为随机变量的概率密度函数在整个定义域上的积分值为1，所以有：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
$$
由于$f(x)$在$0\leqslant x\leqslant 1$区间内为$Ax^3$，在其他区间内为0，所以积分可以简化为：
$$
\int_{0}^{1} Ax^3 dx = 1
$$
计算积分：
$$
A\int_{0}^{1} x^3 dx = A\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{1} = A\left(\frac{1}{4} - 0\right) = \frac{A}{4}
$$
所以有：
$$
\frac{A}{4} = 1
$$
解得：
$$
A = 4
$$
步骤 2：求落在$(-1,\dfrac {1}{2})$ 区间内的概率
由于$f(x)$在$0\leqslant x\leqslant 1$区间内为$4x^3$，在其他区间内为0，所以落在$(-1,\dfrac {1}{2})$ 区间内的概率为：
$$
P(-1
计算积分：
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} 4x^3 dx = 4\left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{\frac{1}{2}} = 4\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}
$$
步骤 3：求分布函数$F(x)$
分布函数$F(x)$定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$
当$x < 0$时，$f(x) = 0$，所以$F(x) = 0$。
当$0 \leq x \leq 1$时，$f(x) = 4x^3$，所以：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} 4t^3 dt = 4\left[\frac{1}{4}t^4\right]_{0}^{x} = x^4
$$
当$x > 1$时，$f(x) = 0$，所以$F(x) = 1$。
综上所述，分布函数$F(x)$为：
$$
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
x^4, & 0 \leq x \leq 1 \\
1, & x > 1
\end{cases}
$$