题目

设随机变量X服从参数为5的泊松分布，backsim Delta B(10,dfrac (1)(4))，且X，Y相互独立，则backsim Delta B(10,dfrac (1)(4))A.12.5B.2035C.2000D.35

设随机变量X服从参数为5的泊松分布， $Y\sim B(10,\frac{1}{4})$ ，且X，Y相互独立，则 $D(X-4Y+2025)=\left(\ \ \right)$

A.12.5

B.2035

C.2000

D.35

题目解答

答案

随机变量X服从参数为5的泊松分布，则泊松分布的参数 $λ=5$ ，则X的数学期望为 $E\left(X\right)=λ=5$ ，方差 $D\left(X\right)=λ=5$ ，

$Y\sim B(10,\frac{1}{4})$ 表示随机变量Y服从 $n=10,p=\frac{1}{4}$ 的二项分布，则Y的数学期望为 $E\left(Y\right)=np=10\times\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$ ，方差为 $D\left(Y\right)=np\left(1-p\right)=10\times\frac{1}{4}\times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{15}{8}$ ，X，Y相互独立，则 $E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$ ， $Cov\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)=0$ ，则 $D(X-4Y+2025)=D\left(X\right)+16D\left(Y\right)-8Cov\left(X,Y\right)$ $=5+16\times\frac{15}{8}=35$ ，因此选择D。

解析

步骤 1：确定泊松分布的参数
随机变量X服从参数为5的泊松分布，因此泊松分布的参数$\lambda =5$。泊松分布的数学期望和方差都等于参数$\lambda$，即$E(X)=D(X)=5$。

步骤 2：确定二项分布的参数
$D\sim B(10,\dfrac {1}{4})$表示随机变量Y服从$z=10$ $p=\dfrac {1}{4}$的二项分布。二项分布的数学期望$E(Y)=np=10\times \dfrac {1}{4}=\dfrac {5}{2}$，方差$D(Y)=np(1-p)=10\times \dfrac {1}{4}\times (1-\dfrac {1}{4})=\dfrac {15}{8}$。

步骤 3：计算D(X-4Y+2025)
由于X和Y相互独立，因此$Cov(X,Y)=0$。根据方差的性质，$D(X-4Y+2025)=D(X)+16D(Y)-8Cov(X,Y)$。将已知的方差值代入，得到$D(X-4Y+2025)=5+16\times \dfrac {15}{8}=5+30=35$。