题目
2.设某公司的甲、乙两个分厂生产同一种产品,月产量分别为x)(千件)和y千件),甲-|||-厂的月生产成本为 _(1)=(x)^2-x+5 (千元),乙厂的月生产成本为 _(2)=(y)^2+2y+3 (千元),-|||-若要求每月总产量为8千件,并使总成本最小,求各分厂的最优产量和相应的最小成本.
题目解答
答案
因为$x+y=8$,由题意得总成本$C={x}^{2}-x+5+{\left(8-x\right)}^{2}+2\left(8-x\right)+3\left(0\lt x\lt 8\right)$,整理得$C=2{x}^{2}-19x+88=2{\left(x-\dfrac{19}{4}\right)}^{2}+88-\dfrac{{19}^{2}}{8}$,所以当甲厂的月产量为$\dfrac{19}{4}$(千件),乙厂月产量为$\dfrac{13}{4}$(千件)时，总成本最小为$\dfrac{343}{8}$(千元),这时甲厂的最小成本为$\dfrac{365}{16}$(千元)，乙厂的最小成本为$\dfrac{321}{16}$(千元).
解析
步骤 1：确定总产量
根据题意，甲、乙两个分厂的月总产量为8千件，即$x+y=8$。
步骤 2：建立总成本函数
甲厂的月生产成本为${C}_{1}={x}^{2}-x+5$，乙厂的月生产成本为${C}_{2}={y}^{2}+2y+3$。因为$x+y=8$，所以$y=8-x$。将$y$的表达式代入${C}_{2}$中，得到总成本$C={C}_{1}+{C}_{2}={x}^{2}-x+5+{\left(8-x\right)}^{2}+2\left(8-x\right)+3$。
步骤 3：化简总成本函数
化简总成本函数$C={x}^{2}-x+5+{\left(8-x\right)}^{2}+2\left(8-x\right)+3$，得到$C=2{x}^{2}-19x+88$。
步骤 4：求总成本函数的最小值
总成本函数$C=2{x}^{2}-19x+88$是一个开口向上的二次函数，其最小值在顶点处取得。顶点的$x$坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-19}{2*2}=\frac{19}{4}$。将$x=\frac{19}{4}$代入$y=8-x$中，得到$y=\frac{13}{4}$。将$x=\frac{19}{4}$代入总成本函数$C=2{x}^{2}-19x+88$中，得到$C=2{\left(\frac{19}{4}\right)}^{2}-19\left(\frac{19}{4}\right)+88=\frac{343}{8}$。
步骤 5：计算各分厂的最小成本
将$x=\frac{19}{4}$代入甲厂的月生产成本${C}_{1}={x}^{2}-x+5$中，得到${C}_{1}=\frac{365}{16}$。将$y=\frac{13}{4}$代入乙厂的月生产成本${C}_{2}={y}^{2}+2y+3$中，得到${C}_{2}=\frac{321}{16}$。
根据题意，甲、乙两个分厂的月总产量为8千件，即$x+y=8$。
步骤 2：建立总成本函数
甲厂的月生产成本为${C}_{1}={x}^{2}-x+5$，乙厂的月生产成本为${C}_{2}={y}^{2}+2y+3$。因为$x+y=8$，所以$y=8-x$。将$y$的表达式代入${C}_{2}$中，得到总成本$C={C}_{1}+{C}_{2}={x}^{2}-x+5+{\left(8-x\right)}^{2}+2\left(8-x\right)+3$。
步骤 3：化简总成本函数
化简总成本函数$C={x}^{2}-x+5+{\left(8-x\right)}^{2}+2\left(8-x\right)+3$，得到$C=2{x}^{2}-19x+88$。
步骤 4：求总成本函数的最小值
总成本函数$C=2{x}^{2}-19x+88$是一个开口向上的二次函数，其最小值在顶点处取得。顶点的$x$坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-19}{2*2}=\frac{19}{4}$。将$x=\frac{19}{4}$代入$y=8-x$中，得到$y=\frac{13}{4}$。将$x=\frac{19}{4}$代入总成本函数$C=2{x}^{2}-19x+88$中，得到$C=2{\left(\frac{19}{4}\right)}^{2}-19\left(\frac{19}{4}\right)+88=\frac{343}{8}$。
步骤 5：计算各分厂的最小成本
将$x=\frac{19}{4}$代入甲厂的月生产成本${C}_{1}={x}^{2}-x+5$中，得到${C}_{1}=\frac{365}{16}$。将$y=\frac{13}{4}$代入乙厂的月生产成本${C}_{2}={y}^{2}+2y+3$中，得到${C}_{2}=\frac{321}{16}$。