题目
7.求通过点 P(1,0,-2) 而与平面 3x-y+2z-1=0 平行,且与直线-|||-dfrac (x-1)(4)=dfrac (y-3)(-2)=dfrac (z)(1)-|||-相交的直线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定所求直线的方向向量
所求直线与平面 3x-y+2z-1=0 平行，因此所求直线的方向向量与平面的法向量垂直。平面的法向量为 n=(3,-1,2)。所求直线的方向向量为 m=(a,b,c)，则有 m·n=0，即 3a-b+2c=0。
步骤 2：确定所求直线与已知直线的交点
设所求直线与已知直线的交点为 Q(x,y,z)，则有 $\dfrac {x-1}{4}=\dfrac {y-3}{-2}=\dfrac {z}{1}=t$，即 x=4t+1，y=-2t+3，z=t。将 Q 点坐标代入平面方程 3x-y+2z-1=0，得到 3(4t+1)-(-2t+3)+2t-1=0，解得 t=-1/4。因此，Q 点坐标为 Q(3/4,25/8,-1/16)。
步骤 3：确定所求直线的方程
所求直线通过点 P(1,0,-2) 和 Q(3/4,25/8,-1/16)，因此所求直线的方向向量为 PQ=(3/4-1,25/8-0,-1/16+2)=(-1/4,25/8,31/16)。所求直线的方程为 $\dfrac {x-1}{-1/4}=\dfrac {y-0}{25/8}=\dfrac {z+2}{31/16}$。
所求直线与平面 3x-y+2z-1=0 平行，因此所求直线的方向向量与平面的法向量垂直。平面的法向量为 n=(3,-1,2)。所求直线的方向向量为 m=(a,b,c)，则有 m·n=0，即 3a-b+2c=0。
步骤 2：确定所求直线与已知直线的交点
设所求直线与已知直线的交点为 Q(x,y,z)，则有 $\dfrac {x-1}{4}=\dfrac {y-3}{-2}=\dfrac {z}{1}=t$，即 x=4t+1，y=-2t+3，z=t。将 Q 点坐标代入平面方程 3x-y+2z-1=0，得到 3(4t+1)-(-2t+3)+2t-1=0，解得 t=-1/4。因此，Q 点坐标为 Q(3/4,25/8,-1/16)。
步骤 3：确定所求直线的方程
所求直线通过点 P(1,0,-2) 和 Q(3/4,25/8,-1/16)，因此所求直线的方向向量为 PQ=(3/4-1,25/8-0,-1/16+2)=(-1/4,25/8,31/16)。所求直线的方程为 $\dfrac {x-1}{-1/4}=\dfrac {y-0}{25/8}=\dfrac {z+2}{31/16}$。