题目
题型说明:共15题，每题2分。30.（2.0分）（）=-1/(1+x^2)
题型说明:共15题，每题2分。
30.（2.0分）（）=-1/(1+x^2)
题目解答
答案
要解决这个问题，我们需要找到一个函数，其导数等于 $-\frac{1}{1+x^2}$。这个问题涉及到积分，因为求导的逆操作是积分。
我们从基本的积分公式中知道：
\[
\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。
由于我们要求的是一个函数，其导数是 $-\frac{1}{1+x^2}$，我们可以对 $\frac{1}{1+x^2}$ 进行积分，然后取负号。因此，我们有：
\[
\int -\frac{1}{1+x^2} \, dx = -\arctan(x) + C
\]
为了满足题目的要求，我们可以选择 $C = 0$，因为常数的导数为零，不会影响结果。因此，一个满足条件的函数是：
\[
-\arctan(x)
\]
所以，答案是：
\[
\boxed{-\arctan(x)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是对基本积分公式的应用能力。需要学生熟练掌握常见函数的积分结果，并能正确处理被积函数的符号。
解题核心思路：题目要求找到一个函数，其导数等于 $-\frac{1}{1+x^2}$。这本质上是求函数 $-\frac{1}{1+x^2}$ 的原函数，即通过积分求解。关键在于识别被积函数的形式，并应用对应的积分公式。
破题关键点：
- 回忆基本积分公式：$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C$。
- 处理负号：将积分中的负号提取到积分外，直接应用已知公式。
- 确定常数项：题目未指定初始条件，因此积分常数 $C$ 可取 $0$，得到特解。
步骤1：明确问题类型
题目要求找到一个函数 $f(x)$，使得 $f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$。这等价于求不定积分：
$\int -\frac{1}{1+x^2} \, dx$
步骤2：应用积分公式
根据基本积分公式：
$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C$
将负号提取到积分外：
$\int -\frac{1}{1+x^2} \, dx = -\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = -\arctan(x) + C$
步骤3：确定特解
题目未给出初始条件，因此积分常数 $C$ 可取 $0$，得到特解：
$f(x) = -\arctan(x)$