设直线L的方程为 ) x-y+z=1, 2x+y+z=4 . ,

步骤 1：确定直线的方向向量
为了找到直线的方向向量，我们需要从给定的平面方程中解出一个向量。给定的平面方程为：
\[ \left \{ \begin{matrix} x-y+z=1,\\ 2x+y+z=4\end{matrix} \right. \]
我们可以通过计算两个平面法向量的叉积来找到直线的方向向量。第一个平面的法向量为 $\vec{n_1}=(1,-1,1)$，第二个平面的法向量为 $\vec{n_2}=(2,1,1)$。直线的方向向量 $\vec{s}$ 为 $\vec{n_1}$ 和 $\vec{n_2}$ 的叉积：
\[ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1-1)\vec{i}-(1-2)\vec{j}+(1+2)\vec{k} = (-2,1,3) \]

步骤 2：确定直线上的一个点
为了确定直线上的一个点，我们可以将 $z$ 设为任意值，例如 $z=1$，然后解出 $x$ 和 $y$。将 $z=1$ 代入给定的方程组中，得到：
\[ \left \{ \begin{matrix} x-y+1=1,\\ 2x+y+1=4\end{matrix} \right. \]
简化后得到：
\[ \left \{ \begin{matrix} x-y=0,\\ 2x+y=3\end{matrix} \right. \]
解这个方程组，得到 $x=1$ 和 $y=1$。因此，直线上的一个点为 $(1,1,1)$。

步骤 3：写出直线的参数方程
直线的参数方程可以表示为：
\[ \left \{ \begin{matrix} x=x_0+at,\\ y=y_0+bt,\\ z=z_0+ct\end{matrix} \right. \]
其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。根据步骤 1 和步骤 2，我们得到：
\[ \left \{ \begin{matrix} x=1-2t,\\ y=1+t,\\ z=1+3t\end{matrix} \right. \]