题目

已知非齐次线性方程组 |} (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=-1 4(x)_(1)+3(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=-1 a(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3) .，有3个线性无关的解，证明:(1)方程组系数矩阵A的秩 |} (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=-1 4(x)_(1)+3(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=-1 a(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3) .;(2)当 |} (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=-1 4(x)_(1)+3(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=-1 a(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3) .时， |} (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=-1 4(x)_(1)+3(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=-1 a(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3) ..

已知非齐次线性方程组 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=-1\\4x_1+3x_2+5x_3-x_4=-1\\ax_1+x_2+3x_3+bx_4=1\end{cases}$ ，有3个线性无关的解，证明:

(1)方程组系数矩阵A的秩 $R\left ( {A} \right )=2$ ;

(2)当 $R\left ( {A} \right )=2$ 时， $a=2，b=-3$ .

题目解答

答案

（1）因为该非齐次线性方程组有3个线性无关的解，因此对应的齐次线性方程组的解的个数应不少于2，有 $4-R\left ( {A} \right )\ge2$ ,则有 $R\left ( {A} \right )\le2$ ，又因为A的行向量两两线性无关，故有 $R\left ( {A} \right )\ge2$ ，因此 $R\left ( {A} \right )=2$ .

（2）对该方程组的增广矩阵进行初等行变换如下： $\begin{bmatrix}1&1&1&1&-1 & \newline4&3&5&-1&-1 & \newline a&1&3&b&1 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&-1 & \newline0&-1&1&-5&3 & \newline0&1-a&3-a&b-a&1+a \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&-1 & \newline0&-1&1&-5&3 & \newline0&0&4-2a&b+4a-5&4-2a \end{bmatrix}$ ，又因为 $R\left(A\right)=2$ ，故有 $\left \{ ^{4-2a=0}_{b+4a-5=0} \right.$ ,解得a=2,b=-3。

解析

步骤 1：确定非齐次线性方程组的解的性质
非齐次线性方程组有3个线性无关的解，意味着对应的齐次线性方程组至少有2个线性无关的解。因此，齐次线性方程组的解空间的维数至少为2，即$1-R(A)\geqslant 2$，从而$R(A)\leqslant 2$。

步骤 2：确定系数矩阵A的秩
由于方程组的系数矩阵A的行向量两两线性无关，因此$R(A)\geqslant 2$。结合步骤1的结论，可以确定$R(A)=2$。

步骤 3：确定参数a和b的值
对非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，得到：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\
4 & 3 & 5 & -1 & -1 \\
a & 1 & 3 & 0 & b
\end{array}\right]
$$
进行初等行变换，得到：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & -1 & 1 & -5 & 3 \\
0 & 1-a & 2-a & -a & b+a
\end{array}\right]
$$
由于$R(A)=2$，因此第三行必须是前两行的线性组合，即$b+4a-5=0$。解得$a=2$，$b=-3$。