【题目】一平面通过两点 M_1(1,1,1) 和 M_2(0,1,-1) 且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.

考查要点：本题主要考查平面方程的求解，涉及平面法向量的确定、向量垂直的条件以及平面方程的点法式。

解题核心思路：

1. 确定法向量：利用已知平面垂直的条件，得到法向量需满足的方程；利用两点确定的方向向量与法向量垂直，得到另一个方程。
2. 联立方程求解：通过联立方程确定法向量的参数关系，进而写出平面方程。
3. 验证答案：代入已知点和垂直条件确认结果正确性。

破题关键点：

• 法向量与已知平面法向量垂直：两平面垂直时，法向量点积为0。
• 方向向量与法向量垂直：两点确定的方向向量在平面上，故与法向量垂直。

步骤1：设法向量并建立方程

设所求平面法向量为 $\mathbf{n} = (A, B, C)$。

1. 垂直于已知平面：
   已知平面 $x + y + z = 0$ 的法向量为 $(1, 1, 1)$，两平面垂直，故法向量点积为0：
   $A \cdot 1 + B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad A + B + C = 0 \quad \text{(方程1)}$

2. 方向向量与法向量垂直：
   两点 $M_1(1,1,1)$ 和 $M_2(0,1,-1)$ 确定的方向向量为 $\overrightarrow{M_1M_2} = (-1, 0, -2)$，该向量在平面上，故与法向量垂直：
   $A \cdot (-1) + B \cdot 0 + C \cdot (-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad -A - 2C = 0 \quad \text{(方程2)}$

步骤2：联立方程求解法向量

联立方程1和方程2：

• 由方程2得 $A = -2C$。
• 将 $A = -2C$ 代入方程1：
  $-2C + B + C = 0 \quad \Rightarrow \quad B = C$
• 法向量可表示为 $\mathbf{n} = (-2C, C, C)$（$C \neq 0$）。

步骤3：写出平面方程

取点 $M_1(1,1,1)$，代入点法式方程：
$-2C(x - 1) + C(y - 1) + C(z - 1) = 0$
约去 $C$（$C \neq 0$）得：
$-2(x - 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0$
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$-2x + 2 + y - 1 + z - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - y - z = 0$