题目
【题目】一平面通过两点 M_1(1,1,1) 和 M_2(0,1,-1) 且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.
【题目】一平面通过两点 M_1(1,1,1) 和 M_2(0,1,-1) 且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.
题目解答
答案
【解析】解设所求平面的一个法线向量为n=(A,B,C).因M1M2=(-1,0,-2)在所求平面上,它必与n垂直,所以有-A-2C=0.(7)又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0,所以又有A+B+C=0.(8)由(7)、(8)得到A=-2C,B=C.由平面的点法式方程可知,所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.将A=-2C及B=C代人上式,并约去C(C≠0),便得-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,或2x-y-z=0.这就是所求的平面方程
解析
步骤 1：确定平面的法向量
设所求平面的法向量为 n = (A, B, C)。因为 M1M2 = (-1, 0, -2) 在所求平面上，所以它与 n 垂直，即 n·M1M2 = 0。因此，我们有 -A - 2C = 0。
步骤 2：利用垂直条件
由于所求平面垂直于平面 x + y + z = 0，所以它们的法向量也垂直。平面 x + y + z = 0 的法向量为 (1, 1, 1)，因此我们有 A + B + C = 0。
步骤 3：求解法向量
由步骤 1 和步骤 2 的方程，我们得到方程组：
-A - 2C = 0
A + B + C = 0
解这个方程组，我们得到 A = -2C，B = C。因此，法向量 n 可以表示为 n = (-2C, C, C)。
步骤 4：求平面方程
由平面的点法式方程，我们有 A(x - 1) + B(y - 1) + C(z - 1) = 0。将 A = -2C，B = C 代入，得到 -2C(x - 1) + C(y - 1) + C(z - 1) = 0。约去 C(C ≠ 0)，得到 -2(x - 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0，即 2x - y - z = 0。
设所求平面的法向量为 n = (A, B, C)。因为 M1M2 = (-1, 0, -2) 在所求平面上，所以它与 n 垂直，即 n·M1M2 = 0。因此，我们有 -A - 2C = 0。
步骤 2：利用垂直条件
由于所求平面垂直于平面 x + y + z = 0，所以它们的法向量也垂直。平面 x + y + z = 0 的法向量为 (1, 1, 1)，因此我们有 A + B + C = 0。
步骤 3：求解法向量
由步骤 1 和步骤 2 的方程，我们得到方程组：
-A - 2C = 0
A + B + C = 0
解这个方程组，我们得到 A = -2C，B = C。因此，法向量 n 可以表示为 n = (-2C, C, C)。
步骤 4：求平面方程
由平面的点法式方程，我们有 A(x - 1) + B(y - 1) + C(z - 1) = 0。将 A = -2C，B = C 代入，得到 -2C(x - 1) + C(y - 1) + C(z - 1) = 0。约去 C(C ≠ 0)，得到 -2(x - 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0，即 2x - y - z = 0。