题目
设L为圆周x^2+y^2=2x沿逆时针方向一周，则曲线积分int_(L) x^3dy-y^3dx=(）. A. (3pi)/(2)B. (pi)/(16)C. (9pi)/(2)D. (3pi)/(16)
设$L$为圆周$x^{2}+y^{2}=2x$沿逆时针方向一周，则曲线积分$\int_{L} x^{3}dy-y^{3}dx=$(）.
- A. $\frac{3\pi}{2}$
- B. $\frac{\pi}{16}$
- C. $\frac{9\pi}{2}$
- D. $\frac{3\pi}{16}$
题目解答
答案
将曲线积分 $\int_{L} x^3 \, dy - y^3 \, dx$ 转换为二重积分，利用格林公式得
\[
\int_{L} x^3 \, dy - y^3 \, dx = \iint_{D} 3(x^2 + y^2) \, dA,
\]
其中 $D$ 为圆 $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$。
使用极坐标变换 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，则
\[
x^2 + y^2 = 1 + 2r\cos\theta + r^2, \quad dA = r \, dr \, d\theta.
\]
代入并计算得
\[
\iint_{D} 3(x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 3(1 + 2r\cos\theta + r^2)r \, dr \, d\theta = \frac{9\pi}{2}.
\]
因此，正确答案为 $\boxed{C}$。
解析
步骤 1：将曲线积分转换为二重积分
根据格林公式，曲线积分 $\int_{L} x^3 \, dy - y^3 \, dx$ 可以转换为二重积分 $\iint_{D} 3(x^2 + y^2) \, dA$，其中 $D$ 为圆 $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$。
步骤 2：使用极坐标变换
将圆的方程转换为极坐标形式，令 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。则 $x^2 + y^2 = 1 + 2r\cos\theta + r^2$，$dA = r \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算二重积分
代入极坐标变换后的表达式，计算二重积分 $\iint_{D} 3(x^2 + y^2) \, dA$，得到 \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 3(1 + 2r\cos\theta + r^2)r \, dr \, d\theta = \frac{9\pi}{2}. \]
根据格林公式，曲线积分 $\int_{L} x^3 \, dy - y^3 \, dx$ 可以转换为二重积分 $\iint_{D} 3(x^2 + y^2) \, dA$，其中 $D$ 为圆 $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$。
步骤 2：使用极坐标变换
将圆的方程转换为极坐标形式，令 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。则 $x^2 + y^2 = 1 + 2r\cos\theta + r^2$，$dA = r \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算二重积分
代入极坐标变换后的表达式，计算二重积分 $\iint_{D} 3(x^2 + y^2) \, dA$，得到 \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 3(1 + 2r\cos\theta + r^2)r \, dr \, d\theta = \frac{9\pi}{2}. \]