[例6]求过点 (3,1,-2) 且通过直线 dfrac (x-4)(5)=dfrac (y+3)(2)=dfrac (z)(1) 的平面方程.

考查要点：本题主要考查如何利用已知点和直线确定平面方程，涉及平面法向量的求解和点法式方程的应用。

解题思路：

1. 确定平面法向量：通过已知点与直线上某点构成的向量，以及直线的方向向量，计算它们的叉积得到平面法向量。
2. 代入点法式方程：利用法向量和已知点，写出平面方程。
3. 平面束方程法（备选方法）：利用直线的平面束方程，代入已知点确定参数，得到平面方程。

关键点：正确构造向量并计算叉积，或合理选择平面束方程并求解参数。

解法1：向量叉积法

步骤1：确定向量

• 已知点 $P(3,1,-2)$，直线上一点 $Q(4,-3,0)$，向量 $\overrightarrow{PQ} = (1,-4,2)$。
• 直线方向向量 $\mathbf{v} = (5,2,1)$。

步骤2：计算法向量

平面法向量 $\mathbf{n}$ 为 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\mathbf{v}$ 的叉积：
$\mathbf{n} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & -4 & 2 \\5 & 2 & 1\end{vmatrix} = (-8, 9, 22)$

步骤3：写出平面方程

用点法式方程：
$-8(x-3) + 9(y-1) + 22(z+2) = 0$
展开整理得：
$8x - 9y - 22z - 59 = 0$

解法2：平面束方程法

步骤1：构造平面束方程

直线可表示为：
$\frac{x-4}{5} = \frac{y+3}{2} = z$
对应平面束方程为：
$(x-5z-4) + \lambda(y-2z+3) = 0$

步骤2：代入已知点求参数

将点 $(3,1,-2)$ 代入方程：
$3 -5(-2) -4 + \lambda(1-2(-2)+3) = 0 \implies 9 + 8\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{9}{8}$

步骤3：确定平面方程

代入 $\lambda$ 得：
$8x - 9y - 22z - 59 = 0$