(int )_(0)^12xcos ((x)^2+1)dx= ( )A.cos 2- cos 1B.cos 2+ cos 1C.sin 2- sin 1D.sin 2+ sin 1

考查要点：本题主要考查定积分的换元法应用，特别是通过观察被积函数的结构，选择合适的中间变量进行替换，简化积分过程。

解题核心思路：
题目中的被积函数为$2x\cos(x^2+1)$，其中$2x$是$x^2+1$的导数，这提示我们可以使用第一类换元法（凑微分法）。通过令$u = x^2 + 1$，将原积分转化为关于$u$的简单积分，从而快速求解。

破题关键点：

1. 识别被积函数的结构：发现$2x$与$x^2+1$的导数关系。
2. 正确选择换元变量：令$u = x^2 + 1$，则$du = 2x dx$，直接将原积分转化为$\int \cos u \, du$。
3. 代入上下限：换元后需将积分上下限从$x$的范围转换为$u$的范围，避免额外计算原函数后再代入$x$的值。

步骤1：选择换元变量
令$u = x^2 + 1$，则$du = 2x dx$，即$2x dx = du$。此时原积分可改写为：
$\int_{0}^{1} 2x \cos(x^2 + 1) dx = \int_{u(0)}^{u(1)} \cos u \, du$

步骤2：调整积分上下限
当$x = 0$时，$u = 0^2 + 1 = 1$；
当$x = 1$时，$u = 1^2 + 1 = 2$。
因此，积分变为：
$\int_{1}^{2} \cos u \, du$

步骤3：计算积分
积分$\int \cos u \, du = \sin u + C$，代入上下限得：
$\left. \sin u \right|_{1}^{2} = \sin 2 - \sin 1$

结论：最终结果为$\sin 2 - \sin 1$，对应选项C。