题目
.求由曲面 =sqrt (5-{x)^2-(y)^2} 及 ^2+(y)^2=4z 所围立体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面交线
首先，我们需要确定两个曲面的交线。给定的曲面是 $z=\sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}=4z$。将这两个方程联立，可以得到交线的方程。
步骤 2：求解交线方程
将 $z=\sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=4z$，得到 ${x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}$。解这个方程，可以得到交线的方程为 $z=1$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$。
步骤 3：确定积分区域
根据交线方程，可以确定积分区域。在 $xOy$ 平面上，积分区域为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$，即 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$ 和 $0\leqslant r\leqslant 2$。
步骤 4：转换为柱面坐标
将柱面坐标变换 $x=r\cos \theta$ 和 $y=r\sin \theta$ 代入积分区域，得到 $\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{4}\leqslant x\leqslant \sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}=\dfrac {{1}^{2}}{4}\leqslant x\leqslant \sqrt {5-{t}^{2}}$。
步骤 5：计算体积
利用柱面坐标计算体积，得到 $v= dv= 2π "dθ r2 rvs-2 r2 (√5-r^2-r^2/4)dr =π| 2 (√5-r^2-r/4 )d(r^2)]=2/3 π(5√5-4)$。
首先，我们需要确定两个曲面的交线。给定的曲面是 $z=\sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}=4z$。将这两个方程联立，可以得到交线的方程。
步骤 2：求解交线方程
将 $z=\sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=4z$，得到 ${x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}$。解这个方程，可以得到交线的方程为 $z=1$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$。
步骤 3：确定积分区域
根据交线方程，可以确定积分区域。在 $xOy$ 平面上，积分区域为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$，即 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$ 和 $0\leqslant r\leqslant 2$。
步骤 4：转换为柱面坐标
将柱面坐标变换 $x=r\cos \theta$ 和 $y=r\sin \theta$ 代入积分区域，得到 $\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{4}\leqslant x\leqslant \sqrt {5-{x}^{2}-{y}^{2}}=\dfrac {{1}^{2}}{4}\leqslant x\leqslant \sqrt {5-{t}^{2}}$。
步骤 5：计算体积
利用柱面坐标计算体积，得到 $v= dv= 2π "dθ r2 rvs-2 r2 (√5-r^2-r^2/4)dr =π| 2 (√5-r^2-r/4 )d(r^2)]=2/3 π(5√5-4)$。