题目
9.求两平面x+2y-z-3=0和2x+y+z+5=0的夹角是: ( ) . (A.) (pi)/(2) (B.) (pi)/(4) (C.) (pi)/(3) (D.) pi
9.求两平面x+2y-z-3=0和2x+y+z+5=0的夹角是: ( ) . (
A.) $\frac{\pi}{2}$ (
B.) $\frac{\pi}{4}$ (
C.) $\frac{\pi}{3}$ (
D.) $\pi$
A.) $\frac{\pi}{2}$ (
B.) $\frac{\pi}{4}$ (
C.) $\frac{\pi}{3}$ (
D.) $\pi$
题目解答
答案
两平面的法向量分别为 $n_1 = (1, 2, -1)$ 和 $n_2 = (2, 1, 1)$。
计算点积：$n_1 \cdot n_2 = 1 \times 2 + 2 \times 1 + (-1) \times 1 = 3$。
计算模长：$|n_1| = \sqrt{6}$，$|n_2| = \sqrt{6}$。
夹角余弦值：$\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
夹角：$\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$。
答案：$\boxed{C}$
解析
步骤 1：确定两平面的法向量
两平面的法向量分别为 $n_1 = (1, 2, -1)$ 和 $n_2 = (2, 1, 1)$。
步骤 2：计算点积
计算点积：$n_1 \cdot n_2 = 1 \times 2 + 2 \times 1 + (-1) \times 1 = 3$。
步骤 3：计算模长
计算模长：$|n_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$，$|n_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$。
步骤 4：计算夹角余弦值
夹角余弦值：$\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
步骤 5：计算夹角
夹角：$\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$。
两平面的法向量分别为 $n_1 = (1, 2, -1)$ 和 $n_2 = (2, 1, 1)$。
步骤 2：计算点积
计算点积：$n_1 \cdot n_2 = 1 \times 2 + 2 \times 1 + (-1) \times 1 = 3$。
步骤 3：计算模长
计算模长：$|n_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$，$|n_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$。
步骤 4：计算夹角余弦值
夹角余弦值：$\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
步骤 5：计算夹角
夹角：$\theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$。