题目
设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，则 Y = 5 - 2X 的密度函数为 A. -(1)/(2) f(-(y-5)/(2))B. (1)/(2) f(-(y-5)/(2))C. -(1)/(2) f(-(y+5)/(2))D. (1)/(2) f(-(y+5)/(2))
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$，则 $Y = 5 - 2X$ 的密度函数为
- A. $-\frac{1}{2} f\left(-\frac{y-5}{2}\right)$
- B. $\frac{1}{2} f\left(-\frac{y-5}{2}\right)$
- C. $-\frac{1}{2} f\left(-\frac{y+5}{2}\right)$
- D. $\frac{1}{2} f\left(-\frac{y+5}{2}\right)$
题目解答
答案
设 $Y = 5 - 2X$，则 $X = \frac{5 - Y}{2}$。对 $X$ 关于 $Y$ 求导得：
\[
\frac{dX}{dY} = -\frac{1}{2}, \quad \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{2}.
\]
由变量变换公式，$Y$ 的密度函数为：
\[
f_Y(y) = f_X\left(\frac{5 - y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f\left(-\frac{y - 5}{2}\right).
\]
对应选项 **B**。
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：变量变换
设 $Y = 5 - 2X$，则 $X = \frac{5 - Y}{2}$。这是将 $Y$ 表达为 $X$ 的函数的逆变换。
步骤 2：求导数
对 $X$ 关于 $Y$ 求导得： \[ \frac{dX}{dY} = -\frac{1}{2}, \quad \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{2}. \] 这里，我们计算了 $X$ 关于 $Y$ 的导数，并取其绝对值，因为密度函数的变换需要考虑导数的绝对值。
步骤 3：应用变量变换公式
由变量变换公式，$Y$ 的密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left(\frac{5 - y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f\left(-\frac{y - 5}{2}\right). \] 这里，我们应用了变量变换公式，将 $X$ 的密度函数 $f_X$ 变换为 $Y$ 的密度函数 $f_Y$。
设 $Y = 5 - 2X$，则 $X = \frac{5 - Y}{2}$。这是将 $Y$ 表达为 $X$ 的函数的逆变换。
步骤 2：求导数
对 $X$ 关于 $Y$ 求导得： \[ \frac{dX}{dY} = -\frac{1}{2}, \quad \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{2}. \] 这里，我们计算了 $X$ 关于 $Y$ 的导数，并取其绝对值，因为密度函数的变换需要考虑导数的绝对值。
步骤 3：应用变量变换公式
由变量变换公式，$Y$ 的密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left(\frac{5 - y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f\left(-\frac{y - 5}{2}\right). \] 这里，我们应用了变量变换公式，将 $X$ 的密度函数 $f_X$ 变换为 $Y$ 的密度函数 $f_Y$。