题目

计算(int )_(0)^ln 2sqrt ({e)^x-1}dx时，常用换元法，若令(int )_(0)^ln 2sqrt ({e)^x-1}dx，则换元后定积分的下限与上限分别为( ) (int )_(0)^ln 2sqrt ({e)^x-1}dx (int )_(0)^ln 2sqrt ({e)^x-1}dx(int )_(0)^ln 2sqrt ({e)^x-1}dx(int )_(0)^ln 2sqrt ({e)^x-1}dx

计算 $\int _ 0 ^ {\ln 2} \sqrt { e ^ x -1 } dx$ 时，常用换元法，若令 $\sqrt { e ^ x -1 } = t$ ，则换元后定积分的下限与上限分别为( )

$A.1,\ln2$

$B .0 , 1$

$C. 1 , 2$

$D. 0 , 2$

题目解答

答案

由题意得，

计算 $\int _ 0 ^ {\ln 2} \sqrt { e ^ x -1 } dx$ 时，常用换元法，若令 $\sqrt { e ^ x -1 } = t$ ，则

当 $x=0$ 时， $t=\sqrt{e^0-1}=\sqrt{1-1}=0$ ；

当 $x=\ln2$ 时， $t=\sqrt{e^{\ln2}-1}=\sqrt{2-1}=1$ ；

故换元后定积分的下限与上限分别为 $0,1$ 。

故答案选 $B$ .

解析

步骤 1：确定原积分的上下限
原积分的下限为$x=0$，上限为$x=\ln 2$。
步骤 2：换元
令$\sqrt {{e}^{x}-1}=t$，则${e}^{x}-1={t}^{2}$，从而${e}^{x}={t}^{2}+1$。
步骤 3：计算换元后的下限
当$x=0$时，$t=\sqrt {{e}^{0}-1}=\sqrt {1-1}=0$。
步骤 4：计算换元后的上限
当$x=\ln 2$时，$t=\sqrt {{e}^{\ln 2}-1}=\sqrt {2-1}=1$。