题目
6.16 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布.已知在品种中,每种颜色至少6.16 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布.已知在品种中,每种颜色至少
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义图
定义一个无向图 $G = (V, E)$，其中 $V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6\}$，每个顶点 $v_i$ 代表一种颜色。边 $E$ 中的每条边 $(v_i, v_j)$ 表示颜色 $i$ 和颜色 $j$ 在某块双色布中搭配。
步骤 2：确定图的性质
根据题意，每种颜色至少与其他5种颜色中的3种颜色搭配，即对于任意的 $v_i \in V$，有 $d(v_i) \geq 3$。因此，对于任意的 $v_i, v_j \in V$，有 $d(v_i) + d(v_j) \geq 3 + 3 = 6$。
步骤 3：应用定理
根据定理6.9（即Dirac定理），如果一个简单图 $G$ 有 $n$ 个顶点，且每个顶点的度数至少为 $n/2$，则 $G$ 中存在哈密顿回路。在本题中，$n = 6$，每个顶点的度数至少为3，满足定理条件，因此 $G$ 中存在哈密顿回路。
步骤 4：构造哈密顿回路
设 $v_1v_2v_3v_4v_5v_6v_1$ 是 $G$ 中的一条哈密顿回路。在这个回路上，每个顶点代表的颜色都与它相邻顶点代表的颜色在某块双色布中搭配。
步骤 5：选择双色布
从哈密顿回路中选择3种双色布，分别是 $(v_1, v_3)$、$(v_3, v_5)$ 和 $(v_5, v_1)$。这3种双色布包含了6种不同的颜色。
定义一个无向图 $G = (V, E)$，其中 $V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6\}$，每个顶点 $v_i$ 代表一种颜色。边 $E$ 中的每条边 $(v_i, v_j)$ 表示颜色 $i$ 和颜色 $j$ 在某块双色布中搭配。
步骤 2：确定图的性质
根据题意，每种颜色至少与其他5种颜色中的3种颜色搭配，即对于任意的 $v_i \in V$，有 $d(v_i) \geq 3$。因此，对于任意的 $v_i, v_j \in V$，有 $d(v_i) + d(v_j) \geq 3 + 3 = 6$。
步骤 3：应用定理
根据定理6.9（即Dirac定理），如果一个简单图 $G$ 有 $n$ 个顶点，且每个顶点的度数至少为 $n/2$，则 $G$ 中存在哈密顿回路。在本题中，$n = 6$，每个顶点的度数至少为3，满足定理条件，因此 $G$ 中存在哈密顿回路。
步骤 4：构造哈密顿回路
设 $v_1v_2v_3v_4v_5v_6v_1$ 是 $G$ 中的一条哈密顿回路。在这个回路上，每个顶点代表的颜色都与它相邻顶点代表的颜色在某块双色布中搭配。
步骤 5：选择双色布
从哈密顿回路中选择3种双色布，分别是 $(v_1, v_3)$、$(v_3, v_5)$ 和 $(v_5, v_1)$。这3种双色布包含了6种不同的颜色。