5.求曲线 ^2=2mx, ^2=m-x 在点(x0,y0,z0)处的切线及法平面方程.

步骤 1：确定曲线的参数方程
曲线由两个方程 ${y}^{2}=2mx$ 和 ${z}^{2}=m-x$ 定义。我们选择 $x$ 作为参数，因为这两个方程都直接依赖于 $x$。因此，曲线的参数方程可以表示为：
$$
\begin{cases}
y = \sqrt{2mx} \\
z = \sqrt{m-x}
\end{cases}
$$
步骤 2：计算切向量
为了找到切线方程，我们需要计算曲线在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切向量。我们对参数方程中的 $y$ 和 $z$ 关于 $x$ 求导，得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{m}{y} = \frac{m}{\sqrt{2mx}}
$$
$$
\frac{dz}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{m-x}} = -\frac{1}{2z}
$$
因此，切向量 $T$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处为：
$$
T = (1, \frac{m}{y_0}, -\frac{1}{2z_0})
$$
步骤 3：写出切线方程和法平面方程
根据切向量 $T$，我们可以写出切线方程：
$$
\frac{x-x_0}{1} = \frac{y-y_0}{\frac{m}{y_0}} = \frac{z-z_0}{-\frac{1}{2z_0}}
$$
法平面方程是通过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 并且垂直于切向量 $T$ 的平面，因此法平面方程为：
$$
(x-x_0) + \frac{m}{y_0}(y-y_0) - \frac{1}{2z_0}(z-z_0) = 0
$$