设A与一个对角阵相似，则存在正交阵P，使P^-1AP为对角阵.A 对B 错

要确定给定的陈述是否正确，我们需要分析矩阵$A$与对角矩阵相似的条件，以及正交矩阵$P$的存在性，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵。 ### 逐步解题过程 1. **相似于对角矩阵**: - 一个矩阵$A$与对角矩阵相似，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$，其中$D$是一个对角矩阵。 - 这意味着$A$的特征值在$D$的对角线上，而$P$的列是$A$的对应特征向量。 2. **正交矩阵**: - 一个矩阵$P$是正交的，如果$P^TP = PP^T = I$，其中$I$是单位矩阵。 - 对于正交矩阵$P$，其逆矩阵$P^{-1}$等于其转置$P^T$。因此，$P^{-1}AP = P^TAP$。 3. **正交对角化**: - 如果存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$（或等价地，$P^TAP = D$），其中$D$是对角矩阵，那么矩阵$A$是正交对角化的。 - 一个矩阵$A$是正交对角化的当且仅当$A$是一个对称矩阵（即，$A^T = A$）。 4. **结论**: - 陈述说，如果$A$与对角矩阵相似，那么存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵。 - 这并不一定正确，因为$A$与对角矩阵相似并不意味着$A$是对称的。存在非对称矩阵与对角矩阵相似，但它们不能被正交对角化。 ### 例子 考虑矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。这个矩阵与对角矩阵相似，因为它的特征值是1和2，对应的特征向量是$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。我们可以构造矩阵$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，使得$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。 然而，$P$不是正交矩阵，而且没有正交矩阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ$为对角矩阵，因为$A$不是对称的。 ### 最终答案 给定的陈述是错误的。因此，答案是： \[ \boxed{B} \]