题目
16.两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。
16.两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。
题目解答
答案
解：（1）设
表示第
台车床加工的零件，B表示合格品，由题可知：
则
（2）
解析
步骤 1：定义事件
设${A}_{1}$表示第一台车床加工的零件，${A}_{2}$表示第二台车床加工的零件，B表示合格品，$\overline{B}$表示不合格品。
步骤 2：计算概率
由题意可知，第一台车床加工的零件比第二台多一倍，因此$P({A}_{1})=\dfrac{2}{3}$，$P({A}_{2})=\dfrac{1}{3}$。第一台车床加工的零件出现不合格品的概率是0.03，第二台车床加工的零件出现不合格品的概率是0.06，因此$P(\overline{B}|{A}_{1})=0.03$，$P(\overline{B}|{A}_{2})=0.06$。
步骤 3：计算任取一个零件是合格品的概率
根据全概率公式，任取一个零件是合格品的概率为$P(B)=\sum _{i=1}^{2}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})$。因为$P(B|{A}_{i})=1-P(\overline{B}|{A}_{i})$，所以$P(B)=\dfrac{2}{3}\cdot 0.97+\dfrac{1}{3}\cdot 0.94=0.96$。
步骤 4：计算取出的零件是不合格品且是由第二台车床加工的概率
根据贝叶斯公式，取出的零件是不合格品且是由第二台车床加工的概率为$P({A}_{2}|\overline{B})=\dfrac{P({A}_{2})P(\overline{B}|{A}_{2})}{P(\overline{B})}$。因为$P(\overline{B})=1-P(B)=0.04$，所以$P({A}_{2}|\overline{B})=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot 0.06}{0.04}=0.5$。
设${A}_{1}$表示第一台车床加工的零件，${A}_{2}$表示第二台车床加工的零件，B表示合格品，$\overline{B}$表示不合格品。
步骤 2：计算概率
由题意可知，第一台车床加工的零件比第二台多一倍，因此$P({A}_{1})=\dfrac{2}{3}$，$P({A}_{2})=\dfrac{1}{3}$。第一台车床加工的零件出现不合格品的概率是0.03，第二台车床加工的零件出现不合格品的概率是0.06，因此$P(\overline{B}|{A}_{1})=0.03$，$P(\overline{B}|{A}_{2})=0.06$。
步骤 3：计算任取一个零件是合格品的概率
根据全概率公式，任取一个零件是合格品的概率为$P(B)=\sum _{i=1}^{2}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})$。因为$P(B|{A}_{i})=1-P(\overline{B}|{A}_{i})$，所以$P(B)=\dfrac{2}{3}\cdot 0.97+\dfrac{1}{3}\cdot 0.94=0.96$。
步骤 4：计算取出的零件是不合格品且是由第二台车床加工的概率
根据贝叶斯公式，取出的零件是不合格品且是由第二台车床加工的概率为$P({A}_{2}|\overline{B})=\dfrac{P({A}_{2})P(\overline{B}|{A}_{2})}{P(\overline{B})}$。因为$P(\overline{B})=1-P(B)=0.04$，所以$P({A}_{2}|\overline{B})=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot 0.06}{0.04}=0.5$。