题目

不定积分int dfrac (1)(1+sqrt {1-x)}dx=( ) int dfrac (1)(1+sqrt {1-x)}dx=int dfrac (1)(1+sqrt {1-x)}dx=int dfrac (1)(1+sqrt {1-x)}dx=int dfrac (1)(1+sqrt {1-x)}dx=

不定积分 $\int \frac{1}{1+\sqrt{1-x}} d x=$ ( )

$A . 2(\sqrt{1-x}-\ln |1-\sqrt{1-x}|)+C$

$B .2(\sqrt{1-x}+\ln |1+\sqrt{1-x}|)+C$

$C. -2(\sqrt{1-x}+\ln |1-\sqrt{1-x}|)+C$

$D. -2(\sqrt{1-x}-\ln |1+\sqrt{1-x}|)+C$

题目解答

答案

由题意得，

利用换元积分法有，

可令 $t=\sqrt{1-x}$ ，则 $x=1-t^2$ ， $dx=d(1-t^2)=-2tdt$ ，

故 $\int_{ }^{ }\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}dx=\int \frac{-2t}{1+t}dt$ $=-2(\int_{ }^{ }1dt-\int_{ }^{ }\frac{1}{1+t}dt)$ $=-2(t-\ln|1+t|)+C$ $=-2(\sqrt{1-x}-\ln|1+\sqrt{1-x}|)+C$ 。

故答案选 $D$ .

解析

步骤 1：换元积分法
令$t=\sqrt{1-x}$，则$x=1-t^2$，$dx=-2tdt$。
步骤 2：代入积分
将$t$和$dx$代入原积分，得到$\int \dfrac{-2t}{1+t}dt$。
步骤 3：分部积分
将$\int \dfrac{-2t}{1+t}dt$拆分为$-2\int 1dt + 2\int \dfrac{1}{1+t}dt$。
步骤 4：计算积分
$-2\int 1dt = -2t$，$2\int \dfrac{1}{1+t}dt = 2\ln|1+t|$。
步骤 5：代回原变量
将$t$代回原变量$x$，得到$-2(\sqrt{1-x}-\ln|1+\sqrt{1-x}|)+C$。