13.求点 P(3,-1,2)) 到直线 ) x+y-z+1=0 2x-y+z-4=0 . 的距离.

步骤 1：确定直线的方向向量
直线 $\left \{ \begin{matrix} x+y-z+1=0\\ 2x-y+z-4=0\end{matrix} \right.$ 的方向向量可以通过计算两个平面的法向量的叉积得到。两个平面的法向量分别为 $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ 和 $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$。因此，直线的方向向量 $\vec{s}$ 为：
$$
\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& 1& -1\\ 2& -1& 1\end{matrix} \right| = -3j - 3k
$$
步骤 2：确定过点P且垂直于直线的平面方程
过点P(3, -1, 2)且垂直于直线的平面的法向量为直线的方向向量 $\vec{s} = (-3, -3, 0)$。因此，该平面的方程为：
$$
-3(y + 1) - 3(z - 2) = 0
$$
化简得：
$$
y + z - 1 = 0
$$
步骤 3：求解直线与平面的交点
解线性方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+y-z+1=0,\\ 2x-y+z-4=0\\ y+z-1=0\end{matrix} \right.$ 得到交点坐标。将 $y + z - 1 = 0$ 代入前两个方程，解得：
$$
x = 1, \quad y = -\frac{1}{2}, \quad z = \frac{3}{2}
$$
步骤 4：计算点P到直线的距离
点P到直线的距离即为点P与交点 $(1, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 之间的距离，计算得：
$$
d = \sqrt{(3-1)^2 + (-1+\frac{1}{2})^2 + (2-\frac{3}{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}
$$