243 已知 dfrac ((x+ay)dx+ydy)({(x+y))^2} 为某函数的全微分,则a等于-|||-(A)2. (B)1. (C)0. (D) -1.A、AB、BC、CD、D

步骤 1：确定全微分条件
全微分的条件是，对于函数 $f(x,y)$，其全微分形式为 $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$。给定的微分形式为 $\frac{(x+ay)dx+ydy}{(x+y)^2}$，我们需要找到一个函数 $f(x,y)$，使得其全微分形式与给定形式一致。

步骤 2：计算偏导数
假设存在函数 $f(x,y)$，使得 $df = \frac{(x+ay)dx+ydy}{(x+y)^2}$。则有：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x+ay}{(x+y)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{(x+y)^2}
$$

步骤 3：验证偏导数的一致性
为了保证 $f(x,y)$ 的存在，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 必须满足混合偏导数的对称性，即 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。计算混合偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x+ay}{(x+y)^2} \right) = \frac{a(x+y)^2 - 2(x+ay)(x+y)}{(x+y)^4} = \frac{a(x+y) - 2(x+ay)}{(x+y)^3} = \frac{a(x+y) - 2x - 2ay}{(x+y)^3} = \frac{ax + ay - 2x - 2ay}{(x+y)^3} = \frac{ax - 2x - ay}{(x+y)^3} = \frac{(a-2)x - ay}{(x+y)^3}
$$
$$
\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{(x+y)^2} \right) = \frac{-2y(x+y)}{(x+y)^4} = \frac{-2y}{(x+y)^3}
$$
为了使混合偏导数相等，需要：
$$
\frac{(a-2)x - ay}{(x+y)^3} = \frac{-2y}{(x+y)^3}
$$
即：
$$
(a-2)x - ay = -2y
$$
整理得：
$$
(a-2)x = (a-2)y
$$
为了使上式对所有 $x$ 和 $y$ 成立，必须有 $a-2 = 0$，即 $a = 2$。