设随机变量的概率密度函数为:求的概率密度函数。

步骤 1：确定随机变量X的分布函数
给定随机变量X的概率密度函数$f(x)$，我们首先确定其分布函数$F_X(x)$。根据定义，分布函数$F_X(x)$是概率密度函数$f(x)$的积分，即$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。对于给定的概率密度函数$f(x)$，我们有：
$$
F_X(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{if } x \leq 0 \\
1 - e^{-x} & \text{if } x > 0
\end{array}
\right.
$$
步骤 2：确定随机变量Y的分布函数
随机变量Y定义为$Y = X^2$。为了找到Y的分布函数$F_Y(y)$，我们需要考虑$Y \leq y$的概率，即$P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)$。由于$X^2$是非负的，我们只需要考虑$y \geq 0$的情况。对于$y \geq 0$，我们有：
$$
F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})
$$
由于$X$的分布函数$F_X(x)$在$x \leq 0$时为0，我们只需要考虑$X$在$[0, \sqrt{y}]$区间内的分布，即：
$$
F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) = 1 - e^{-\sqrt{y}}
$$
步骤 3：确定随机变量Y的概率密度函数
随机变量Y的概率密度函数$f_Y(y)$是分布函数$F_Y(y)$的导数，即$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y)$。根据步骤2中的$F_Y(y)$，我们有：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - e^{-\sqrt{y}}) = \frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}
$$