如图所示 四、求平面曲线 =(x)^2+2 在(1,3)点的切线和法线方程(8分),

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出给定函数 $y = x^2 + 2$ 的导数，以确定在点 (1,3) 处的斜率。导数 $y'$ 表示函数在某一点的瞬时变化率，即切线的斜率。
$$
y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2x
$$
步骤 2：计算切线斜率
将点 (1,3) 的横坐标 x = 1 代入导数 $y'$ 中，得到切线的斜率。
$$
y'(1) = 2 \cdot 1 = 2
$$
步骤 3：求切线方程
已知切线的斜率和一个点 (1,3)，可以使用点斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 来求切线方程，其中 m 是斜率，$(x_1, y_1)$ 是已知点。
$$
y - 3 = 2(x - 1)
$$
化简得到切线方程：
$$
y = 2x + 1
$$
步骤 4：求法线斜率
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。因此，法线的斜率是 $-\frac{1}{2}$。
步骤 5：求法线方程
已知法线的斜率和一个点 (1,3)，可以使用点斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 来求法线方程，其中 m 是斜率，$(x_1, y_1)$ 是已知点。
$$
y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1)
$$
化简得到法线方程：
$$
y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}
$$