[题目]-|||-曲面 =(x)^2+(y)^2 与平面-|||-2x+4y-z=0 ()平行的切平面方程是 __-|||-__

步骤 1：确定曲面的法向量
曲面 $z = x^2 + y^2$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量为 $\nabla z = (2x, 2y, -1)$，其中 $z = x^2 + y^2$。

步骤 2：确定平面的法向量
平面 $2x + 4y - z = 0$ 的法向量为 $(2, 4, -1)$。

步骤 3：确定切平面的法向量与平面的法向量平行
由于切平面与给定平面平行，它们的法向量也必须平行。因此，我们有：
$$
(2x, 2y, -1) = k(2, 4, -1)
$$
其中 $k$ 是比例常数。由此，我们可以得到：
$$
2x = 2k, \quad 2y = 4k, \quad -1 = -k
$$
解得 $k = 1$，从而 $x = 1$，$y = 2$。

步骤 4：确定切点
将 $x = 1$ 和 $y = 2$ 代入曲面方程 $z = x^2 + y^2$，得到 $z = 1^2 + 2^2 = 5$。因此，切点为 $(1, 2, 5)$。

步骤 5：确定切平面方程
切平面的法向量为 $(2, 4, -1)$，切点为 $(1, 2, 5)$。因此，切平面方程为：
$$
2(x - 1) + 4(y - 2) - (z - 5) = 0
$$
化简得：
$$
2x + 4y - z - 5 = 0
$$