函数=x(y)^2(z)^2在点=x(y)^2(z)^2处沿其梯度方向的方向导数为（ ）。A.1B.2C.3D.4

考查要点：本题主要考查梯度的计算以及方向导数的性质，特别是沿梯度方向的方向导数的求解方法。

解题核心思路：

1. 梯度向量由函数在各变量方向的偏导数组成，其方向是函数值增长最快的方向。
2. 方向导数的大小等于梯度向量在该方向上的投影。沿梯度方向的方向导数最大，且等于梯度的模长。

破题关键点：

• 正确计算函数在点$P_0$处的偏导数，得到梯度向量。
• 计算梯度向量的模长，即为所求的方向导数。

步骤1：计算偏导数
函数$u = x y^2 z^2$的偏导数为：

• 对$x$偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = y^2 z^2$
• 对$y$偏导：$\frac{\partial u}{\partial y} = 2x y z^2$
• 对$z$偏导：$\frac{\partial u}{\partial z} = 2x y^2 z$

步骤2：代入点$P_0(1, -1, 1)$

• $\frac{\partial u}{\partial x} = (-1)^2 \cdot 1^2 = 1$
• $\frac{\partial u}{\partial y} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 1^2 = -2$
• $\frac{\partial u}{\partial z} = 2 \cdot 1 \cdot (-1)^2 \cdot 1 = 2$

步骤3：计算梯度模长
梯度向量为$(1, -2, 2)$，其模长为：
$\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

结论：沿梯度方向的方向导数为$3$，对应选项D。