题目
[题目]二元函数 f(x,y)= ^2+{y)^2},(x,y)neq (0,0) 0,(x,y)=(0,0) . 在点-|||-(0,0)处 ()-|||-A.连续,偏导数存在-|||-B.连续,偏导数不存在-|||-C.不连续,偏导数存在-|||-D.不连续,偏导数不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算偏导数
根据偏导数的定义，计算函数在点(0,0)处的偏导数。对于${f}_{x}(0,0)$和${f}_{y}(0,0)$，我们得到：
${f}_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\dfrac {0-0}{\Delta x}=0$
${f}_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y-0}\dfrac {0-0}{\Delta y}=0$
步骤 2：判断连续性
通过计算极限$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，我们发现当k不同时，$\dfrac {k}{1+{k}^{2}}$不同，因此极限不存在，函数在(0,0)处不连续。
根据偏导数的定义，计算函数在点(0,0)处的偏导数。对于${f}_{x}(0,0)$和${f}_{y}(0,0)$，我们得到：
${f}_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\dfrac {0-0}{\Delta x}=0$
${f}_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y-0}\dfrac {0-0}{\Delta y}=0$
步骤 2：判断连续性
通过计算极限$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，我们发现当k不同时，$\dfrac {k}{1+{k}^{2}}$不同，因此极限不存在，函数在(0,0)处不连续。