1.设函数f(x,y)=}x^2y/x^4+y^2,&x^2+y^2neq00,&x^2+y^2=0在点(0,0)处为（）.(A)f(x,y)连续，但偏导数不存在 (B)f(x,y)的偏导数存在但(C)f(x,y)连续且偏导数存在 (D)f(x,y)不连续且偏导数

为了确定函数 $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases} $ 在点 $(0,0)$ 处的性质，我们需要检查两个方面：函数在 $(0,0)$ 处的连续性以及函数在 $(0,0)$ 处的偏导数是否存在。 ### 步骤1：检查函数在 $(0,0)$ 处的连续性 函数在 $(0,0)$ 处连续，当且仅当 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$。 首先， $ f(0,0) = 0 $。 接下来，我们计算 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$。考虑沿不同路径 approaching $(0,0)$ 的极限。 - 沿 $ y = 0 $ 路径： $ f(x,0) = \frac{x^2 \cdot 0}{x^4 + 0^2} = 0 $。因此， $\lim_{x \to 0} f(x,0) = 0$。 - 沿 $ y = x $ 路径： $ f(x,x) = \frac{x^2 \cdot x}{x^4 + x^2} = \frac{x^3}{x^4 + x^2} = \frac{x^3}{x^2(x^2 + 1)} = \frac{x}{x^2 + 1} $。因此， $\lim_{x \to 0} f(x,x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$。 - 沿 $ y = x^2 $ 路径： $ f(x,x^2) = \frac{x^2 \cdot x^2}{x^4 + (x^2)^2} = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2} $。因此， $\lim_{x \to 0} f(x,x^2) = \frac{1}{2}$。 由于沿不同路径 approaching $(0,0)$ 的极限不相等（沿 $ y = x^2 $ 路径的极限为 $\frac{1}{2}$，而沿 $ y = 0 $ 和 $ y = x $ 路径的极限为 $0$），所以 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 不存在。因此，函数 $ f(x,y) $ 在 $(0,0)$ 处不连续。 ### 步骤2：检查函数在 $(0,0)$ 处的偏导数是否存在 函数 $ f(x,y) $ 在 $(0,0)$ 处的偏导数 $ f_x(0,0) $ 和 $ f_y(0,0) $ 定义如下： - $ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0 $。 - $ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0 $。 因此，函数 $ f(x,y) $ 在 $(0,0)$ 处的偏导数存在，且 $ f_x(0,0) = 0 $ 和 $ f_y(0,0) = 0 $。 ### 结论 函数 $ f(x,y) $ 在 $(0,0)$ 处不连续，但偏导数存在。因此，正确答案是 $\boxed{D}$。