题目
1.已知函数f(x)=(int_(0)^x|sin t|dt)/(x^alpha)在(0，+∞)上有界，则α的取值范围应为 (A.)(0，+∞). (B.)(0，3]. (C.)[1，2]. (D.)(1，3].
1.已知函数$f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t|dt}{x^{\alpha}}$在(0，+∞)上有界，则α的取值范围应为 (
A.)(0，+∞). (
B.)(0，3]. (
C.)[1，2]. (
D.)(1，3].
A.)(0，+∞). (
B.)(0，3]. (
C.)[1，2]. (
D.)(1，3].
题目解答
答案
当 $x \to 0^+$ 时，利用等价无穷小 $|\sin t| \sim t$，得
\[
\int_0^x |\sin t| \, dt \sim \frac{x^2}{2}, \quad f(x) \sim \frac{x^{2-\alpha}}{2}.
\]
为使 $f(x)$ 有界，需 $2 - \alpha \geq 0$，即 $\alpha \leq 2$。
当 $x \to +\infty$ 时，
\[
\int_0^x |\sin t| \, dt \approx \frac{2x}{\pi}, \quad f(x) \approx \frac{2}{\pi} x^{1-\alpha}.
\]
为使 $f(x)$ 有界，需 $1 - \alpha \leq 0$，即 $\alpha \geq 1$。
综上，$\alpha$ 的取值范围为 $[1, 2]$，对应选项 $\boxed{C}$。
解析
步骤 1：分析函数在 $x \to 0^+$ 时的行为
利用等价无穷小 $|\sin t| \sim t$，当 $x \to 0^+$ 时，有 \[ \int_0^x |\sin t| \, dt \sim \int_0^x t \, dt = \frac{x^2}{2}. \] 因此， \[ f(x) \sim \frac{x^{2-\alpha}}{2}. \] 为使 $f(x)$ 有界，需 $2 - \alpha \geq 0$，即 $\alpha \leq 2$。
步骤 2：分析函数在 $x \to +\infty$ 时的行为
当 $x \to +\infty$ 时，注意到 $|\sin t|$ 在每个周期 $[2k\pi, (2k+2)\pi]$ 上的积分为 $2$，因此 \[ \int_0^x |\sin t| \, dt \approx \frac{2x}{\pi}. \] 因此， \[ f(x) \approx \frac{2}{\pi} x^{1-\alpha}. \] 为使 $f(x)$ 有界，需 $1 - \alpha \leq 0$，即 $\alpha \geq 1$。
步骤 3：综合两个条件
综合步骤 1 和步骤 2 的结果，$\alpha$ 的取值范围为 $[1, 2]$。
利用等价无穷小 $|\sin t| \sim t$，当 $x \to 0^+$ 时，有 \[ \int_0^x |\sin t| \, dt \sim \int_0^x t \, dt = \frac{x^2}{2}. \] 因此， \[ f(x) \sim \frac{x^{2-\alpha}}{2}. \] 为使 $f(x)$ 有界，需 $2 - \alpha \geq 0$，即 $\alpha \leq 2$。
步骤 2：分析函数在 $x \to +\infty$ 时的行为
当 $x \to +\infty$ 时，注意到 $|\sin t|$ 在每个周期 $[2k\pi, (2k+2)\pi]$ 上的积分为 $2$，因此 \[ \int_0^x |\sin t| \, dt \approx \frac{2x}{\pi}. \] 因此， \[ f(x) \approx \frac{2}{\pi} x^{1-\alpha}. \] 为使 $f(x)$ 有界，需 $1 - \alpha \leq 0$，即 $\alpha \geq 1$。
步骤 3：综合两个条件
综合步骤 1 和步骤 2 的结果，$\alpha$ 的取值范围为 $[1, 2]$。